2024-04-12 马婉沁 精彩小资讯
两平面相交交线
在三维空间中，当两个平面相交时，它们的交集会形成一条直线，称为交线。
定义
两平面相交的交线是指它们公共的直线，即两平面上的所有点都在交线上。
性质
共线向量：交线上任意两点的连线与两个平面的法向量共线。
垂直性：交线垂直于两个平面的法向量。
唯一性：两平面相交只能形成一条交线。
平面内性：交线总是位于相交的两个平面内。
如何求交线
给定两个平面：
- 平面方程：Ax + By + Cz + D = 0 和 Ex + Fy + Gz + H = 0
- 法向量：n1 = (A, B, C) 和 n2 = (E, F, G)
求交线的步骤：
1. 求公法向量：公法向量与n1和n2垂直，即 n = n1 x n2。
2. 确定交点：选择两平面上的任意一点，例如 (x0, y0, z0)。
3. 利用参数方程表示交线：交线上的点可以表示为：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct 其中 (a, b, c) 是n的三分量，t是参数。
两立体相交所产生的表面交线
1. 定义
当两个或两个以上的立体相交时，它们各自的表面之间可能会产生交线。这种交线称为表面交线。
2. 表面交线的类型
表面交线可以根据相交立体类型的不同而分为以下几种类型：
3. 平面与平面的交线：一条直线
4. 平面与曲面的交线：曲线
5. 曲面与曲面的交线：未知的另一曲线
3. 表面交线的性质
表面交线的性質由相交立体自身的性質決定：
6. 平面與平面的交線：共線
7. 平面與曲面的交線：共面
8. 曲面與曲面的交線：一般情況下不共面
4. 表面交线的应用
表面交线在几何学、工程和设计等领域有着广泛的应用，例如：
9. 确定立体相交的区域
10. 计算相交立体的体积
11. 设计工件和机器零件
两个一般位置平面相交求交线
1. 定义
在三维空间中，两个既不平行也不重合的平面称为一般位置平面。两个一般位置平面相交形成一条直线，这条直线称为两个平面的交线。
2. 求解方法
有两种主要方法可以求解两个一般位置平面相交的交线：
行列式法：使用行列式来求解交线的参数方程或截距式方程。
点法：找到两个平面上的两条平行线，并求取它们相交的点，该点将落在交线上。
3. 行列式法
设两个一般位置平面为：
π?: Ax + By + Cz + D = 0
π?: A'x + B'y + C'z + D' = 0
则它们的交线参数方程为：
```
x = s(B'C - BC')
y = t(C'A - CA')
z = s(A'B - AB') + t(AC - A'C)
```
其中，s 和 t 是参数。
4. 点法
选取平面 π? 上任意一点 P? (x?, y?, z?)。
构造过点 P? 与平面 π? 平行的向量 n?，由平面 π? 的法向量 n 和 平面 π? 的法向量 n? 叉乘得到：n? = n × n?。
沿 n? 方向移动，直到与平面 π? 相交，得到点 P? (x?, y?, z?)。
直线 P?P? 便是平面 π? 和 π? 的交线。
5. 例题
求解平面 π?: x + 2y - z = 0 和平面 π?: 2x - y + 3z = 5 的交线方程。
行列式法：
| 1 2 -1 | | x | | 0 |
| 2 -1 0 | | y | = | 0 |
| 0 0 3 | | z | | 5 |
求解得到参数方程：
```
x = 5s
y = -5t
z = 5 + 3s + 5t
```
点法：
取点 P? (1, 0, -1) 在平面 π? 上。构造向量 n? = (2, -3, 1)。沿 n? 方向移动，得到点 P? (3, -3, 1) 在平面 π? 上。因此，交线为直线 P?P?：
```
x = 1 + 2t
y = -3t
z = -1 + t
```
