平面与曲面相切（平面与曲面相切法向量是垂直还是平行）

1、平面与曲面相切

平面与曲面相切

平面与曲面相切是指平面与曲面在一条公切线上相交，且在公切线附近的两条切线与公切线平行，即平面与曲面在切点处的接触是平滑的。

平面与曲面相切的判定定理

定理：若平面与曲面在一条公切线上相交，且在公切线附近存在两条与公切线平行的切线，则平面与曲面相切。

证明：

设平面方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$

曲面方程为：$$F(x,y,z)=0$$

公切线方程为：$$x=at+b,\quad y=ct+d,\quad z=et+f$$

则曲面在公切线上的切平面方程为：$$\frac{\partial F}{\partial x}(at+b,ct+d,et+f)(x-at-b)+\frac{\partial F}{\partial y}(at+b,ct+d,et+f)(y-ct-d)+\frac{\partial F}{\partial z}(at+b,ct+d,et+f)(z-et-f)=0$$

化简为：$$\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)\cdot(x-at-b,y-ct-d,z-et-f)=0$$

由于切线与公切线平行，故切线方程为：$$x=at+b+\alpha,\quad y=ct+d+\beta,\quad z=et+f+\gamma$$

其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 为常数。

则曲面在切线上的切平面方程为：$$\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)\cdot(x-(at+b+\alpha),y-(ct+d+\beta),z-(et+f+\gamma))=0$$

化简为：$$\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)\cdot(\alpha,\beta,\gamma)=0$$

由于曲面在公切线上的切平面与平面相切，故两者的法向量平行。即：$$A\frac{\partial F}{\partial x}+B\frac{\partial F}{\partial y}+C\frac{\partial F}{\partial z}=0$$

因此，曲线在切线上的切平面方程可以写成：$$A(x-at-b)+\dots+C(z-et-f)=0$$

即平面方程与曲面在切线上的切平面方程相同，故平面与曲面在切点处相切。

平面与曲面相切的应用

平面与曲面相切在几何、物理等领域有着广泛的应用，例如：

投影：平面与曲面相切可以解决投影问题，例如，计算曲面上某点的正投影。

求解极值：平面与曲面相切可以用于求解曲面上的极值点，例如，寻找曲面上某点的最大值或最小值。

力学：平面与曲面相切可以应用于刚体受力变形分析，例如，接触应力分布和接触变形计算。

2、平面与曲面相切法向量是垂直还是平行

平面与曲面相切法向量

在几何学中，曲面与平面的相切点是曲面上的一点，在该点处曲面和平面具有相同的切平面。相切法向量是沿曲面正向且与相切平面垂直的向量。本文将探讨平面与曲面相切法向量之间的关系，即法向量是否垂直或平行。

平面与曲面相切的条件

平面与曲面相切当且仅当曲面在相切点处可微分，并且法向量的内积为零。用数学公式表示：

(p - c) · n = 0

其中：

p 是相切点

c 是平面上的任意点

n 是曲面的法向量

法向量的方向

1. 法向量垂直于相切平面

如果曲面和平面相切，则曲面的法向量垂直于相切平面。这是因为相切平面是曲面在相切点处的最佳局部线性逼近，而法向量总是垂直于该平面。

2. 法向量平行于相切平面

在某些特殊情况下，曲面的法向量可以与相切平面平行。这种情况发生在曲面在相切点处具有奇点或曲率为零时。

一般来说，平面与曲面相切的法向量是垂直于相切平面的。在曲面奇点或曲率为零的情况下，法向量可以与相切平面平行。理解法向量的方向对于分析曲面和平面之间的关系以及进行几何计算至关重要。

3、平面与曲面相切有什么性质

平面与曲面相切的性质

当一个平面与一个曲面相切于一点时，它们满足以下性质：

1. 相切点

相切点是平面和曲面共有的唯一一点。

2. 切线

在相切点处，平面与曲面相切，形成一条公切线。这条直线称为平面和曲面的切线。

3. 法向量

曲面在相切点处的法向量垂直于切线。

平面的法向量与曲面的法向量在相切点处共线。

4. 曲率

曲面的曲率在相切点处等于切线与法向量的交角正切值。

5. 截面曲率

以相切点为端点的平面和曲面的截面是平面曲线。

该截面曲线的曲率等于曲面在相切点处的正法曲率或负法曲率。

应用

这些性质在许多领域都有应用，例如：

光学：解释光的反射和折射

力学：分析曲面之间的接触力

几何建模：创建复杂的曲面

计算机图形学：渲染平滑的物体表面